Matematica are multiple probleme care au fost deschise de ani de zile. Unii rezista si fiecare mic avans este celebrat in comunitate ca un pas mai aproape de rezolutia sa de obicei complexa. Altii sunt acolo, asteapta ca persoana sa le priveasca dintr-o noua perspectiva care face dintr-o data sa cada toate voalurile si cineva este surprins de simplitatea solutiei.
Este cazul Lisei Piccirillo, care a rezolvat o problema importanta in teoria nodurilor deschisa in urma cu mai bine de 50 de ani ca doctoranda la Universitatea din Texas din Austin. Rezultatul sau, care a fost publicat recent in prestigioasa jurnala Annals of Mathematics, a starnit un mare interes in comunitatea matematica.
Entuziasmul acestei receptii a surprins-o insasi pe tanara, care recunoaste ca nu a fost constienta la inceput de impactul pe care l-ar avea munca ei.
Piccirillo a stabilit ca asa-numitul nod Conway, introdus de John Horton Conway (decedat recent din cauza Covid19), nu are proprietatea de a fi taiat.
Intrebarea fundamentala la care se raspunde este daca, avand in vedere doua noduri, este posibil sa se obtina unul dintre ele din deformatiile celuilalt. Acolo unde este posibil, nodurile sunt echivalente
Dar sa incepem de la inceput: la matematica, un nod ar fi o franghie legata in care capetele au fost lipite. Teoria nodurilor studiaza transformarile care i se pot face acelei franghii prin intinderea, rasucirea, indoirea… fara a o taia efectiv. Intrebarea fundamentala la care se raspunde este daca, avand in vedere doua noduri, este posibil sa se obtina unul dintre ele din deformatiile celuilalt. Acolo unde este posibil, nodurile sunt echivalente.
Pentru a rezolva aceste probleme, se folosesc invarianti de nod, care sunt functii care atribuie o valoare fiecarui nod. Daca un anumit invariant atribuie valori diferite la doua noduri, atunci nu este posibil sa se deformeze un nod in celalalt, adica nu sunt noduri echivalente.
Invariantii ne permit sa studiem proprietatile nodurilor. Problema rezolvata de Piccirillo se concentreaza pe proprietatea unui nod de a fi taiat. Pentru a defini acest concept trebuie sa ne imaginam nodul intr-un spatiu cu patru dimensiuni. Astfel, un nod este o felie daca este marginea unui disc in acest spatiu. Nu este usor sa va formati o idee intuitiva si tocmai din acest motiv nu este usor sa determinati, in general, daca un nod este slice sau nu.
Din fericire, invariantii pot fi folositori in aceasta sarcina, deoarece ofera obstacole pentru ca un nod sa fie taiat. Astfel, pana acum s-a putut stabili daca 2.977 din cele 2.978 de noduri cu mai putin de 13 incrucisari au proprietatea de a fi taiate sau nu. Toate cu exceptia unui nod: nodul Conway, de 11 treceri.
Piccirillo a aflat de existenta acestei probleme in timpul unui congres din vara lui 2018. In propriile sale cuvinte, a luat-o ca pe un hobby
Piccirillo a aflat despre aceasta problema in timpul unei conferinte din vara lui 2018. In propriile sale cuvinte, si-a apucat ca un hobby sa aplice unele dintre tehnicile pe care le dezvoltase ca doctorand. In putin mai putin de o saptamana a reusit sa raspunda la intrebarea: nodul Conway nu este o felie.
Dovada rezultatului sau este surprinzatoare pentru combinatia dintre originalitate si simplitate (ai grija sa nu confundi simplitatea cu simplitatea!). Succesul sau consta in utilizarea unui invariant modern pentru a ataca o problema clasica: „invariantul s”, definit in 2010 de Jacob Rasmussen dintr-un alt invariant cunoscut sub numele de omologie Khovanov, si in ideea de urme, un spatiu de dimensiunea patru. care poate fi asociat cu fiecare nod. Daca doua noduri au urme echivalente, atunci fie ambele au proprietatea de a fi slice, fie niciunul dintre ele nu are. Ideea lui Piccirillo este de a construi un nod a carui urma este echivalenta cu urma nodului Conway si de a utiliza invariantul s pentru a verifica daca primul nu este o felie.
Dincolo de completarea clasificarii nodurilor de felie cu mai putin de 13 incrucisari, importanta acestui rezultat este ascunsa in ceva mai subtil: in studiul clasificarii nodurilor, este esential sa se determine care proprietati sunt pastrate prin mutatie. Nodul Conway este un mutant al altui nod cu nume propriu: nodul Kinoshita-Terasaka (vezi figura din margine), care este felie. Astfel, lucrarea lui Piccirillo ofera primul exemplu de nod non-slice (care este topologic felie) al carui mutant este.
Marithania Silvero este profesor asistent, doctor la Universitatea din Huelva si membru al Institutului de Matematica al Universitatii din Sevilla (IMUS).
Cafe y Teoremas este o sectiune dedicata matematicii si mediului in care este creata, coordonata de Institutul de Stiinte Matematice (ICMAT), in care cercetatorii si membrii centrului descriu cele mai recente progrese din aceasta disciplina, impartasesc puncte de intalnire intre matematica si alte expresii sociale si culturale si aminteste de cei care i-au marcat dezvoltarea si au stiut sa transforme cafeaua in teoreme. Numele evoca definitia matematicianului maghiar Alfred Renyi: „Un matematician este o masina care transforma cafeaua in teoreme”.
